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<!DOCTYPE html>

<title>Cardioïde</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Cardioïde</span></h1>

</header>

</div>

<p>La <b>cardioïde</b> est une <a href="Courbe_alg%C3%A9brique" title="Courbe algébrique">courbe algébrique</a> plane, <a href="Trajectoire" title="Trajectoire">trajectoire</a> d'un point fixé à un <a href="Cercle" title="Cercle">cercle</a> qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre<sup id="cite_ref-Akopyan_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Akopyan-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Il s'agit donc d'une <a href="Courbe_cyclo%C3%AFdale" title="Courbe cycloïdale">courbe cycloïdale</a> dont la <a href="Directrice_(math%C3%A9matiques)" title="Directrice (mathématiques)">directrice</a> est un cercle (ou <a href="%C3%89picyclo%C3%AFde" title="Épicycloïde">épicycloïde</a>).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Étymologie_et_histoire"><span id=".C3.89tymologie_et_histoire"></span>Étymologie et histoire</h2></div>

<p>Son nom vient du grec <i>kardia</i> (cœur), en référence à sa forme, et lui fut donné par <a href="Giovanni_Francesco_Salvemini_da_Castiglione" title="Giovanni Francesco Salvemini da Castiglione">Jean Castillon</a>.

</p><p>D'abord étudiée comme un cas particulier du <a href="Lima%C3%A7on_de_Pascal" title="Limaçon de Pascal">limaçon de Pascal</a>, la première évocation de la cardioïde en tant qu'épicycloïde remonte à 1674 : <a href="Ole_Christensen_R%C3%B8mer" title="Ole Christensen Rømer">Rømer</a> l'étudia au cours de ses recherches sur la forme la plus adaptée aux dents des <a href="Engrenage" title="Engrenage">engrenages</a>. En 1708, <a href="Philippe_de_La_Hire" title="Philippe de La Hire">La Hire</a> détermina son périmètre (8 fois le diamètre du cercle directeur). <a href="Giovanni_Francesco_Salvemini_da_Castiglione" title="Giovanni Francesco Salvemini da Castiglione">Castillon</a> la décrit plus en détail et la baptisa dans un document qu'il publia en 1741. Néanmoins, comme il s'agit d'un cas particulier de limaçon de Pascal (courbe étudiée par <a href="%C3%89tienne_Pascal" title="Étienne Pascal">Étienne Pascal</a>, le père de <a href="Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise</a>), on peut dire que son histoire commence bien avant les travaux de La Hire et Castillon.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_analytique"><span id="D.C3.A9finition_analytique"></span>Définition <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_analytique" title="Géométrie analytique">analytique</a></h2></div>

<p>La courbe peut être définie par l'équation cartésienne suivante :

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d87a1343ad815eccc219d4cb2abb53d00b960f8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.333ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>On peut également la définir par une <a href="%C3%89quation_polaire" title="Équation polaire">équation polaire</a> :

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (\theta )=a(1+\cos \theta )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/647665394a2f78c11a132cc54cbda19ed90eb2bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.831ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (\theta )=a(1+\cos \theta )}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>ou par une équation paramétrique :

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(\theta )=a\cos \theta (1+\cos \theta )\\y(\theta )=a\sin \theta (1+\cos \theta )\end{matrix}}\right.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8cdbccf2f2e61548d8a0b91be5af6614d85aaf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.429ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(\theta )=a\cos \theta (1+\cos \theta )\\y(\theta )=a\sin \theta (1+\cos \theta )\end{matrix}}\right.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés_et_applications"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s_et_applications"></span>Propriétés et applications</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Géométrie"><span id="G.C3.A9om.C3.A9trie"></span>Géométrie</h3></div>

<p>La cardioïde est :

</p>

<ul><li>une <a href="Concho%C3%AFde" title="Conchoïde">conchoïde</a> de cercle relativement à un point situé sur le cercle, avec une raison égale au diamètre du cercle. Il s'agit donc d'un cas particulier de <a href="Lima%C3%A7on_de_Pascal" title="Limaçon de Pascal">limaçon de Pascal</a> ;</li>

<li>une <a href="Podaire" title="Podaire">podaire</a> de cercle par rapport à l'un de ses points ;</li>

<li>l'enveloppe des cercles dont le centre décrit un cercle donné (C), et qui passent par un point donné A de ce cercle (C)<sup id="cite_ref-Akopyan_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-Akopyan-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> ;</li>

<li>une <a href="Inversion_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Inversion (géométrie)">inverse</a> de <a href="Parabole" title="Parabole">parabole</a> par rapport à son foyer<sup id="cite_ref-Akopyan_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-Akopyan-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.</li>

<li>dans le <a href="Plan_complexe" title="Plan complexe">plan complexe</a>, l'image du cercle de centre 1 et de rayon 1 par la fonction <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\to z^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\to z^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/447ed6fa996bb78a34225285595786c1169423ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.847ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle z\to z^{2}}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .frwiki-modele-images .gallerytext{padding:2px 4px 4px}.mw-parser-output .frwiki-modele-images .gallerytext:empty{display:none}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style><div class="frwiki-modele-images thumb center tnone"><div class="thumbinner" style="display:table; margin:0.5em auto;">

<div class="gallerytext">Cardioïde comme conchoïde d'un cercle.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Cardioïde comme podaire d'un cercle.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Cardioïde comme enveloppe de cercles.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Cardioïde comme inverse d'une parabole.</div>

</li>

</ul>

</td>

</tr>

</tbody></table>

</div>

<p>Le périmètre d'une cardioïde formée à partir d'un cercle de diamètre <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d73aa5354c24942dab5316be466465a9d171510.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.617ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a\,}" loading="lazy"></span> vaut <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8a\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8a\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c135f9f4b57864f5f1e6f6fb70e74dcddb69997d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.779ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8a\,}" loading="lazy"></span> ; son aire vaut <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi a^{2}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8935945c7c76b123bdc9ef7c8cf048d036a1d21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:5.615ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi a^{2}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Comme pour toute <a href="Courbe_cyclo%C3%AFdale" title="Courbe cycloïdale">courbe cycloïdale</a>, la <a href="D%C3%A9velopp%C3%A9e" title="Développée">développée</a> de la cardioïde est une cardioïde homothétique.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Optique">Optique</h3></div>

<p>La cardioïde est une <a href="Caustique" title="Caustique">caustique</a> de cercle par réflexion avec la source lumineuse située sur le cercle<sup id="cite_ref-Akopyan_1-3" class="reference"><a href="#cite_note-Akopyan-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.<br>

</p>

<div class="gallerytext">Cardioïde apparaissant nettement dans une cocotte en fonte.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Cardioïde comme caustique. La source lumineuse est le point du cercle situé sur l'axe des abscisses, à droite.</div>

</li>

</ul>

</td>

</tr>

</tbody></table>

</div>

<p>Lorsque la source est infiniment éloignée et que ce sont des rayons parallèles qui se reflètent sur le cercle, on distingue une forme comparable mais il s'agit alors d'une autre <a href="%C3%89picyclo%C3%AFde" title="Épicycloïde">épicycloïde</a>, la <a href="N%C3%A9phro%C3%AFde" title="Néphroïde">néphroïde</a>.

</p><p>La caustique par réflexion de la cardioïde, avec la source lumineuse au <a href="Point_de_rebroussement" title="Point de rebroussement">point de rebroussement</a> de la cardioïde, est également une néphroïde.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Microphones_à_directivité_cardioïde"><span id="Microphones_.C3.A0_directivit.C3.A9_cardio.C3.AFde"></span>Microphones à directivité cardioïde</h3></div>

<p>On dit d'un <a href="Microphone" title="Microphone">microphone</a> qu'il est unidirectionnel ou cardioïde lorsque sa sensibilité varie en fonction de la position de la source par rapport à l'axe du micro en dessinant une courbe en forme de cœur. Cette directivité s'obtient en ajoutant une directivité en huit (bidirectionnelle) à une directivité omnidirectionnelle :

</p>

<ul><li>micro omnidirectionnel (capteur de pression) : <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {U}}=1}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d93d16376a11504b4b8ea3fb423dab802a5f900a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.285ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}=1}" loading="lazy"></span> ;</li>

<li>micro bidirectionnel (capteur de gradient de pression : <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {U}}=\cos \theta }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}=\cos \theta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/973c1ef2296d97aabf57d27d294055abef96b00b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.712ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}=\cos \theta }" loading="lazy"></span> ;</li>

<li>micro cardioïde (capteur mixte) : <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {U}}=1+\cos \theta }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}=1+\cos \theta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c82624aa562ac4468f728353cddc1269a096253.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.714ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}=1+\cos \theta }" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<p>Le son provenant de l'arrière est complètement éliminé, celui venant des côtés, atténué. En dirigeant le micro vers la source, on réduit l'importance du son réverbéré, qui vient de toutes les directions. En sonorisation, on évite l'oscillation (<a href="Effet_Larsen" title="Effet Larsen">effet Larsen</a>) en plaçant les haut-parleurs de retour à l'arrière des micros.

</p><p>On construit des microphones de directivité <i>cardioïde large</i>, <i>supercardioïde</i> et <i>hypercardioïde</i> en changeant les proportions entre la composante omnidirectionnelle et la composante bidirectionnelle.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Divers">Divers</h3></div>

<p>On trouve une cardioïde au centre d'une <a href="Fractale" title="Fractale">fractale</a> très connue, l'<a href="Ensemble_de_Mandelbrot" title="Ensemble de Mandelbrot">ensemble de Mandelbrot</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-Akopyan-1"><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Akopyan2015"><span class="ouvrage" id="Arseniy_V._Akopyan2015"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Arseniy V. Akopyan, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Geometry of the cardioid</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Amer. Math. Monthly</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 122, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 2,‎ <time>2015</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">144-150</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class=" noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.4169/amer.math.monthly.122.02.144">10.4169/amer.math.monthly.122.02.144</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Geometry+of+the+cardioid&rft.jtitle=Amer.+Math.+Monthly&rft.issue=2&rft.aulast=Akopyan&rft.aufirst=Arseniy+V.&rft.date=2015&rft.volume=122&rft.pages=144-150&rft_id=info%3Adoi%2F10.4169%2Famer.math.monthly.122.02.144&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACardio%C3%AFde"></span></span></span></span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Cyclo%C3%AFde" title="Cycloïde">Cycloïde</a></li>

<li><a href="N%C3%A9phro%C3%AFde" title="Néphroïde">Néphroïde</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

</p>

<li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers">Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes</span> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk//kardioide/"><i>Den Store Danske Encyklopædi</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/cardio%C3%AFde/30869"><i>Larousse</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/kardioide"><i>Store norske leksikon</i></a></li> </ul></div></li>

<li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers"><a href="Autorit%C3%A9_(sciences_de_l'information)" title="Autorité (sciences de l'information)">Notices d'autorité</a></span> : <ul><li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85020208">LCCN</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/en/authorities/987007283476905171">Israël</a></span></li> </ul></div></li>

<li><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml"><cite style="font-style:normal;">Cardioïde</cite></a> », sur <span class="italique">mathcurve.com</span></span></li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la géométrie</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-05-13" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Cardio%C3%AFde&oldid=225630338">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>